例えば、同じ職場何社か別の派遣会社から派遣スタッフ派遣され、同じ仕事をしているとしましょう。

そういう場合によくあるのが、お互いの派遣会社の待遇などを言い合って、自分が所属している派遣会社と比較してしまうこと。

そして、結果的にどうも他のスタッフのほうが良い条件で雇われている、ということが分かると、どうせ同じ職場で同じ仕事をするなら、条件の良いほうに乗り換えたいな・・・という気持ちになる人が多いようです。

派遣先企業は気に入っているので、このままここで働き続けたい。
だから、派遣会社だけ乗り換えよう。

これはどうなんでしょうか？

おそらく、法律上は問題はないのでは、と思います。
派遣スタッフは、自分の登録する派遣会社を自由に選べます。
企業も、どこの派遣会社と契約するかは自由に選べます。

ただ、これをやる場合は、最低でもきちんと契約期間を満了して、次の更新のタイミングで実行すべきだと思います。
（契約満了せずに乗り換えた場合は、法律的にもマズイことになるかもしれません）

でも、私個人的には、仮に法律上問題はないとしても、あまりオススメはしません。
私だったら、乗り換えはしないでしょう。

待遇で不満があるのなら、まずは現在の派遣会社に伝えて、改善してもらうほうが早道だと思うからです。
それに、乗り換えたことで、何かとトラブルが発生するケースもあるようです。
安易に乗り換えを検討するのは、あまり賢い選択ではないかもしれません。

せっかく縁があって良い職場を紹介してもらったのですから、良いビジネスパートナーとして、今後も気持ちよく働きたいとも思いますしね。